سلسلة تمارين جديدة في انماط البرهان: تمرين 5 و تمرين 6

حمل سلسلة التمارين من على الرابط التالي https://www.mediafire.com/file/hebiu0lp09cfteq/logique_et_raisonnement.pdf/file في الرياضيات توجد أنماط (طرق) مختلفة للبرهان، ويُختار النمط المناسب حسب شكل القضية. إليك أهم أنماط البرهان مع شرح مبسّط وأمثلة واضحة: --- 🔹 1) البرهان المباشر (Direct Proof) هو أبسط وأشهر أنواع البرهان. تبدأ من الفرضية وتستعمل قواعد رياضية إلى أن تصل للنتيجة المطلوبة. مثال: برهن أن عددًا زوجيًا زائد عدد زوجي يعطينا عددًا زوجيًا. نفرض: , إذن: وهو زوجي. --- 🔹 2) البرهان بالتناقض (Proof by Contradiction) نفترض عكس المطلوب، ثم نصل إلى تناقض، فنستنتج أن الافتراض الخاطئ يجعل النتيجة صحيحة. مثال: لإثبات أن عدد غير منطقي: نفترض أنه منطقي أي … نصل إلى تناقض ⇒ إذن الافتراض خطأ ⇒ الجملة صحيحة. --- 🔹 3) البرهان بالتقابل (Contrapositive Proof) بدل أن نثبت: P \Rightarrow Q \neg Q \Rightarrow \neg P مثال: لإثبات: إذا كان زوجيًا فإن زوجي. نثبت: إذا كان فرديًا فـ فردي. انتهى. --- 🔹 4) البرهان بالتراجع (Mathematical Induction – البرهان باستعمال الاستقراء الرياضي) يُستعمل لإثبات قضايا على الأعداد الطبيعية مثل المتتاليات والمجاميع. الخطوات: 1. الأساس: نثبت صحة الجملة عند 2. الفرضية: نفترض أنها صحيحة عند 3. الخطوة الاسترجاعية: نثبتها عند --- 🔹 5) البرهان بالتحليل إلى الحالات (Proof by Cases) نقسم القضية إلى حالات مختلفة ثم نبرهن كل حالة. مثال: لإثبات خاصية ما على جميع الأعداد الصحيحة، نقسمها: حالة زوجي حالة فردي ونبرهن كل حالة. --- 🔹 6) البرهان البنائي (Constructive Proof) نثبت وجود شيء معيّن عن طريق بنائه أو إيجاده فعليًا. مثال: لإثبات وجود عدد أولي بين و ، نعطي طريقة أو مثال يبين ذلك. --- 🔹 7) البرهان اللابنائي (Non-Constructive Proof) نثبت وجود عنصر دون تحديده بدقة. --- 🔹 8) البرهان بالتكافؤ (Proof by Equivalence) نبرهن جملة من الشكل: P \iff Q --- 🔥 خلاصة سريعة نوع البرهان الفكرة الأساسية المباشر من الفرض للنتيجة مباشرة بالتناقض نفترض العكس ونصل لتناقض بالتقابل نبرهن النفي ⇒ نفي الفرض الاستقراء إثبات للمتتاليات والأعداد الطبيعية الحالات تقسيم القضية لحالات ممكنة البنائي تقديم مثال أو بناء شيء اللابنائي إثبات وجود دون تقديم مثال التكافؤ إثبات اتجاهين ⇒ ⇐